下次你坐下来玩拼图，记得带上计算器——也许你会需要它。

数学有点声名狼藉，似乎只适合书呆子和……嗯……FBI特工？但事实上，数学家们也是有趣、酷炫的人，和我们其他人一样喜欢高效派对和幽默文字游戏。

人类能做的最酷炫的事情是什么呢？没错，是拼图。所以毫无疑问，数学家将注意力转向了这个消遣活动，给困扰全世界玩家的一个问题提供了答案：为了放拼图，你需要多大的桌子呢？

好吧，技术上来说，并不是数学家，而是一位生物物理学家和一位实验量子物理学家。“有一天，我的丈夫和我在做拼图，”多伦多大学的博士后玛德琳·邦斯玛-费希尔告诉《新科学家》，“我突然想知道，在拼完拼图之前，能不能估算出拼图碎片占据的面积。”

结果是一篇简洁小巧，仅六页长的论文，将最佳圆形填充概念运用到了你奶奶最喜欢的下雨天活动上。（值得指出的是，尽管只是一篇预印本，因此不经同行评审，但论文中使用的几何计算非常基础，不太可能出错。）

“人们长期以来对在二维平面上排列圆形感兴趣，”邦斯玛-费希尔告诉《普通机械》，“如今已经知道，在六边形晶格中排列圆形是在二维表面上安排它们的最紧凑方式，目标是让圆之间的空间尽可能小。”

“这也是为什么蜂巢呈现出这种形状，”她指出，“蜜蜂实际上制作圆形蜂房，但这些被挤压成了六边形晶格，这是将圆形挤压在一起的最有效方式。”

这个想法是：为了容纳拼图的每一块，桌子必须足够大，以适应所需的圆形数量。这听起来有点奇怪——毕竟，拼图碎片通常不是圆形的——但这种疯狂中有方法：邦斯玛-费希尔夫妇并不是在寻找放置所有碎片所需的绝对最小面积，而是“碎片占据的面积，当你不太关心碎片方向或位置时”，她解释道。

空间利用率稍显低效，但对于人类拼图爱好者而言更有意义。通过将每块拼图视为一个圆形而不是某种更接近的近似物，我们可以旋转、移动或替换各种碎片——从而真正解决问题。

那么，答案是什么呢？嗯，基本上就是那个六边形填充图案。如果我们把它画出来，就会发现每个六边形的面积大约是一个圆形“拼图碎片”的三倍——中间是完整的一个，周围有六分之三。

现在，一个正规六边形的面积是3√3/2倍于d2，其中d是边长。那么d是多少呢？我们可以从图表中看出，它是一个圆形的直径——或者换算成拼图碎片的朝向，就是一块碎片的对角线。

假设每一块都是（大致）方形的，那么d就是一个直角三角形的斜边，两个相等短边的长度为√（整个拼图的面积/拼图碎片的数量）。利用毕达哥拉斯定理，这意味着d2等于两倍拼图的面积除以碎片数量。

因此，所需的总空间量等于碎片数量N乘以一块碎片的面积。如果你还记得的话，那块碎片在这种填充结构中大约是一个六边形的一半面积——这又等于3√3/2倍于d2。换句话说，

最终答案：根号3。邦斯玛-费希尔夫妇在论文中写道，“未拼装的拼图面积简单地是已拼装的拼图面积的根号3倍，与拼图碎片的数量无关。”

为了确保，这对夫妇在九张拼图上验证了他们的公式，从一张9块到一张2000块的拼图。效果完美：在各种拼图面积和拼图数量范围内，我们发现了实际测量和我们理论预测之间的接近一致性，”他们写道，之后还展示了一张完整的1008块拼图的照片。

所以，现在我们知道了：如果你想给所有拼图找足够的空间，确保你的桌面面积是拼图面积的大约1.73倍——虽然“如果你真的想把所有碎片平铺开来并且舒服点，”邦斯玛-费希尔告诉《新科学家》，“你的桌子应该比你样本拼图大一点点超过两倍。”可以在ArXiV上找到这篇论文。